상세정보

양자역학을 제대로 이해하려면 복소평면의 복소함수, 힐베르트 공간으로 다가가야 한다. 이 책에는 힐베르트 공간에서 파동역학과 행렬역학이 무한차원의 벡터 이론으로 수렴하는 과정이 깔끔하게 정리돼 있다. 물리현상으로는 파악하기 어려운 미시세계를 깊숙이 들여다볼 수 있다.

◆ 힐베르트 공간은 복소평면에서 기술하는 무한차원 공간이다.

◆ 힐베르트 공간은 무한차원의 상태벡터로 짜여있다.

◆ 상태벡터는 에너지양자가 벡터화된 것이다.

◆ 양자파동은 상태벡터의 교환 작용에서 생성된다.

◆ 양자파동은 힐베르트 공간에서 생성되는 복합파동이다.

◆ 허미션 행렬은 힐베르트 공간의 상태벡터를 분해한 계산시스템이다.

◆ 허미션 행렬은 대각선 항을 중심으로 상태벡터의 켤레함수를 대칭, 배열한다.

양자역학의 양대 산맥은? 파동역학과 행렬역학입니다.
디랙은 행렬역학과 파동역학을 통합한 물리학자죠. 그는 힐베르트 공간을 중심으로 파동역학과 행렬역학은 원리가 같다는 걸 수리적으로 밝혔습니다.

모두 허수로 된 상태벡터라는 점을 파악했죠. 파동역학은 위치 x를 기저벡터로 해서 연속적 미분방정식이 되었고 행렬역학은 불연속 에너지를 기저로 삼아서 행렬이 된 점을 밝혔습니다.

디랙은 상태벡터를 간결하게 기술할 수 있는 디랙 표기법을 고안해 양자역학 기법을 세련화했습니다. 나아가 조화진동 에너지를 올림연산자, 내림연산자로 구분했죠. 디랙의 연산자를 이용하면 전자의 조화진동 방정식을 풀 수 있습니다.

관건은? 연산자 해법 과정을 이해하기 어렵다는 겁니다.
양자 조화진동을 연산자로 푼 과정은 파악하기 어렵습니다.

힐베르트 공간은 복소평면에 바탕을 두고 있습니다.
복소평면은 x축인 실수 축과 y축인 허수 축이 같은 방식으로 펼쳐집니다. 힐베르트 공간은 x축과 y축이 진동하면서 무한차원을 만듭니다.

양자는 시공간 세계에서 매 순간 요동합니다.
요동하는 힐베르트 공간은 양자가 생성되고 소멸하는 공간입니다. 힐베르트 공간은 시간과 공간이 수직축에서 서로 얽히며 쉬지 않고 조화진동 합니다.

양자역학을 제대로 이해하려면?
복소평면의 복소함수, 힐베르트 공간으로 다가가야 합니다.
이 책에는 힐베르트 공간에서 파동역학과 행렬역학이 무한차원의 벡터 이론으로 수렴하는 과정이 깔끔하게 정리돼 있습니다. 물리현상으로는 파악하기 어려운 미시세계를 깊숙이 들여다볼 수 있습니다.

정보제공 :

시간과 공간의 물리학

뉴턴역학 & 운동법칙 

미분방정식

보조법칙

뉴턴역학 : 현대 물리의 초석

절대 시간 & 절대 공간 

유클리드 공간

갈릴레이 변환 : 관성계의 평행 이동

빛 속도 c

4차원 시공간 & 리만 공간 

휘어지는 시공간 

민코프스키의 4차원 시공간

4차원 좌표계

양자역학 & 힐베르트 공간 

h : 양자역학의 출발점

양자역학의 시간과 공간

플랑크 상수

h : 진동하는 에너지양자 / h와 천칭

최소 에너지 & 에너지의 불연속  

h : 복소평면의 물리량

행렬역학 & 파동역학

양자역학의 두 갈래 

파동역학 : 행렬역학

힐베르트 공간

n : 정체성을 갖는 양자

파동역학 

무한차원 시공간

F=ma의 시간

i가 없는 텐서

양자 시공간

파동역학 & 물질파

물질파 : 상상의 산물

파동함수 ψ(x, t) 

슈뢰딩거 파동방정식

h의 물리량 : 양자파동방정식

양자파동 유도 과정

H & 시간독립 슈뢰딩거 방정식   

힐베르트 공간 & 행렬역학 

힐베르트 : 무한차원 공간

힐베르트 공간 : 요동하는 양자 시공간

미시와 거시의 연결고리, h

허미션 행렬 & 대칭성

정리

유클리드 벡터 & 힐베르트 상태벡터 

상태벡터 & 에너지

유클리드 공간의 벡터 연산 

상태벡터의 외적과 내적   

상태벡터의 예비 곱셈, 다이애드-곱(dyad-product)  

피타고라스 정리에 의한 고차원 공간거리

무한 수직 좌표축

다이애드-곱(dyad-product)과 상태벡터

함수 내적 & 푸리에 급수 

벡터함수의 내적 

내적 정의

정의 핵심

푸리에 급수 & 직교성 

조화 진동방정식 일반해

복합 동적 좌표계

직교하는 복합 축

흑체 내부의 직교 복합파동

힐베르트 공간의 상태벡터 & 내적 

직교 상태벡터(k≠ k‵) & 예외 상태벡터(k= k‵)

적분 구분 이유

내적 계산을 통한 힐베르트 공간의 증명 

상태벡터 기본관계 : k≠ k' &  k= k'



힐베르트 공간 & 상태벡터 시스템

허미션 행렬 

복소 형태의 푸리에 급수

시공간의 대칭

매개변수 τ 

정상상태 & 양자 도약 

h : 복소평면의 값

파동역학 기본수식

파동과 입자

양자 도약

방출되는 빛의 세기

입자와 파동의 연결

전자의 스펙트럼 세기 

허미션 행렬 구조

양자가설 : 적분 형태

상태벡터의 대칭

역행렬

상수 계수 C & 허수 품은 τ 

C(n, n-1) C(n, n+1)의 확률

τ : 가능성을 품은 허수

τ의 물리적 의미 

시간과 공간의 파동

과거와 미래의 진동

허미션 행렬

허미션 행렬 구조 

켤레 곱셈 대칭

e⁰=1

전치 복소행렬(complex conjugate) 

허미션 행렬의 물리량

원래 행렬 복귀 / 복소전치

허미션 행렬 : 복소수 파동

허미션 행렬의 행렬곱셈 

벡터의 내적

e⁰=1의 정규화

항등연산자

행렬곱셈과 역행렬 

1 = 역행렬

확률 가능성 / τ 값 전자

우주상수 h

대응원리 & 불확정성 

보어의 대응원리

하이젠베르크의 불확정성

불확정성 : 양자역학의 기본원리

ħ의 파동성

허미션 행렬 & 슈뢰딩거 파동방정식 

미시세계 상태벡터

실숫값 e⁰=1

연산자 & 파동방정식

미분방정식 : 상태벡터

정상상태 & 고윳값 에너지 

에너지 평형

전자의 역학적 에너지

위치에너지 : 운동에너지

행렬곱셈 

전자의 들 떤 상태

행렬곱셈과 역행렬

대각선 항 & 시공의 조화진동

역행렬 ＆ 에너지 보존법칙

전자의 양자수

플랑크 상수 & 양자 에너지 

불연속 에너지 En= nhf

에너지의 연속 = 시공의 연속

에너지 구간 / 알갱이 에너지

흑체복사 곡선 

양자수 n으로 구분한 에너지 구간    

하이젠베르크의 양자수 n=n' 

En=nhf & n=n'

에너지양자

에너지양자 & 양자 요동 

에너지양자의 실체, ħ 

시공간의 대칭 : 양자 요동

켤레함수

하이젠베르크의 교환연산자 

켤레 관계

교환연산자, 복소평면의 관계식

크로네커 델타 & I 연산자

교환연산자 ±iħ & 에너지양자 

±iħ(xp-px, px-xp)의 물리적 실체

복소평면의 에너지양자

거시세계의 h

에너지양자의 진동 : 시공간양자의 진동

창발하는 우주

우주 특이점 & 무경계 가설 

힐베르트 공간의 우주 특이점

플랑크 질량 : 압축의 최대치

시간양자 공간양자의 조화진동

양자적 특이점(singularity)

디랙의 연산자 방식

조화진동자 해법 

디랙 표기법

연산자 해법 과정

방정식 비교

디랙의 연산자 해법 

곱셈 순서

xp-px & px-xp 교환관계

바닥 상태의 고유함수 & 고윳값 에너지 E₀ 

올림연산자 & 내림연산자 메커니즘

시간과 공간의 양자화

보른의 확률이론 

측정에 의한 공간과 시간의 분리

전자의 입자 가능성

푸리에변환과 역변환

힐베르트 공간의 상태벡터 

브라(bra)-켓(ket)

상태벡터 & 켤레 상태벡터

브라벡터와 켓 벡터

상태벡터의 절댓값

상태벡터의 직교

힐베르트 공간의 완전성 

정상상태의 상태벡터함수 & 전개상수 

고유함수 확률

Cn

고유함수 2개

고유함수의 중첩 & 진동수 조건식 

전자의 존재 방식

상태벡터의 절댓값

연산자 방식으로 보완한 중첩

에너지 평형

진동수 조건식

주파수 조건식

상태벡터의 중첩 

코펜하겐 해석

양자파동의 위상속도 & 군속도 

위상속도 & 빛 속도

파동 중첩과 맥놀이  

맥놀이 원인

양자파동 적용

양자파동의 위상속도

상대성 4차원 : 힐베르트 4차원

참고 자료 

정보제공 :